{正版}混沌数学基础/自然科学/教材/科学/混沌理论与应用/研究人员/高年级本科生/研究生/入门读物/Li—Yorke混沌/Devaney混沌.

混沌数学基础
	定价	(咨询特价)
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	(咨询特价)年10月
	开本	16
	作者	朱培勇
	装帧	平装
	页数	150
	字数	250
	ISBN编码	00

目录

前言第1章混沌简介与知识准备 1
1.1 混沌学的产生与混沌概念的引入 1
1.2 预备知识 5
1.3 两种基本混沌的条件简化 13
习题(咨询特价)
第2 章一维混沌映射 21
2.1 Bernoulli 移位映射的混沌表现 21
2.2 三角帐篷映射与蒙裹映射的混沌性 24
2.3 Li-Yorke 定理 30
习题(咨询特价)
第3 章抽象空间上的混沌 45
3.1度量空间上的Li-Yorke混沌 45
3.2 符号空间上的移位映射 49
3.3 Smale 马蹄映射 56
3.4 其他混沌及其混沌之间的关系 64
3.5 拓扑空间上的混沌 76
习题(咨询特价)
第4 章拓扑熵 88
4.1 Adler 拓扑熵 88
4.2 Bowen 拓扑熵的定义 93
4.3 两种拓扑熵的一致性 97
4.4马蹄、拓扑熵与Li-Yorke混沌的关系 100
习题4 103
第5章二维自治系统与Hamilton系统 104
5.1 二维自治系统的初等奇点 104
5.2平面Hamilton系统 113
5.3 同宿点理论 115
习题5 118
第6 章混沌的微扰判据 119
6.1 Melnikov 函数 119
6.2 Melnikov 定理的应用 124
习题6 137
附录点集拓扑基础 138
参考文献 141

编辑推荐 
《混沌数学基础》可作为从事混沌理论与应用研究人员的入门读物，也可作为相关专业的高年级本科生或研究生的教材。 

内容提要 
《混沌数学基础》主要从数学角度讲述混沌的概念、性质、基本理论与解析判定方法。《混沌数学基础》引入了Li—Yorke混沌与Devaney混沌概念并讨论其条件化简问题，证明了三角帐篷映射、蒙裹映射、符号空间上移位映射以及平面Smale马蹄映射等映射或系统的混沌性，给出了“周期三意味着混沌”的详细证明，证明了Devaney混沌与Li—Yorke混沌等在拓扑共轭下的不变性，讲述了拓扑熵及其与Li—Yorke混沌的关系等并展示了用Melinkov定理判别系统混沌性的方法。 

第1 章混沌简介与知识准备
1.1 混沌学的产生与混沌概念的引入
为了介绍混沌学的起源、发展以及在科学与工程中的作用,借助如下两位著名学者对混沌(chaos)的评述作为本书的开始.
(1)中国科学院院士郝柏林：“混沌,这个在中外文化渊源悠久的词儿,正在成为具有严格定义的科学概念,成为一门新科学的名字,它正在促使整个现代知识体系成为新科学.”[13]
(2)Gleick(詹姆斯格雷克)在他的《混沌——开创新科学》一书中讲岛“越来越多的人认识到,这是相对论和量子力学问世以来,对人类整个知识体系的又一次巨大冲击,这也许是20世纪后半叶数理科学所做的有深远意义的贡献.”[12]
近半个世纪以来,人们发现在自然界和社会生活中混沌现象无所不有、无所不在,因而,对混沌的研究已经深入到自然科学和社会科学的各个领域：物理、数学、化学、生物、天文、气象、地质探测、经济与金融、通信、电子电工、人文社科等.
因此,在科学界越来越多的学者认为,20世纪人类对科学的三大贡献为：①相对论；②量子力学；③混沌学.
1.1.1 混沌学(chaology)的诞生
美国麻省理工学院洛伦兹(LorenzEN)于1963年在《大气科学》杂志上发表了《决定性的非周期流》一文,阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种,这就是非周期性与不可预见性之间的关系.洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候,偶然发现输入的初始条件的极细微的差别可以引起模拟结果的巨大变化.洛伦兹打了一个比喻：在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流,几星期后可能变成席卷北半球美国得克萨斯州的一场龙卷风,这就是后来人们常常津津乐道的天气的“蝴蝶效应”.
1972年12月29日,洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上又发表了题为《蝴蝶效应》的论文,由此进一步地提出了天气的不可准确预报性的论断.
洛伦兹揭示的气候变化或者说气象学中的这一现象,应该说是科学界第一次正式提出的混沌学的一个实际模型.
一般来讲,确定性系统中貌似随机的不规则运动,即一个由确定的理论描述的系统,其行为表现为不确定性(具有不可重复与不可预测性质).正如：一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统中,两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后变得毫无一致,这恰如从长序列中随机选取的两个状态那样,这就是所谓的貌似随机性.这种系统被称为敏感地依赖于初始条件,这种现象就是混沌现象,这种系统就是混沌系统.
近些年的研究表明：混沌是非线性动力系统的固有特性,是非线性系统普遍存在的现象.牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统,而线性系统大多是由非线性系统简化而来.因此,在现实生活和实际工程技术问题中,混沌是无处不在的.
1.1.2 混沌概念的精确定义
虽然洛伦兹从气象学的角度解释了混沌现象的存在性,但是混沌作为一个科学名词第一次出现在学术杂志是在1975年12月李天岩(LiTY)和约克(YorkeJA)发表于Amer.Math.Monthly(《美国数学月刊》)的论文:Periodthreeimplieschaos(周期三意味着混沌).从此,chaos作为一个科学代名词被里程碑式的确定下来.
李天岩和约克的混沌定义,被后来者称为Li-Yorke定义,其具体如下.
定义1.1.1(Li-Yorke,1975)设I是一个区间,称连续映射f:I→ I是混沌的(混沌映射),如果周期集P(f)=N且存在不可数集S0. IPer(f),合于
其中，P(f)和Per(f)分别是f:I→ I的所有周期构成的集合和所有周期点构成的集合,N表示自然数1,2,的集合.
关于周期点的定义：设f : I → I,
(1)定义fn(x)=fn.1 . f(x)=fn.1(f(x)),其中f0 为恒等映射并且n是自然数；
(2)设x0∈ I, 如果.n ∈ N使得fn(x0)=x0,则称x0为f的周期点.特别地,当n=1时,即f(x0)=x0,则称x0为f的不动点；如果.n ∈ N,使得fn(x0)=x0,但fk(x0)=.x0(k=1,2,？？？ ,n . 1),则称x0为f的n-周期点,并称n为点x0关于f的周期,通常用Per(f)表示f的周期点的全体,即
Li-Yorke在1975年的Amer.Math.Monthly上证明了如下定理.
定理1.1.1(Li-Yorke,1975)设I是一个区间,f:I→ I是连续映射,若存在a∈ I使得b=f(a),c=f2(a),d=f3(a)合于d.a<b<c(或d.a>b>c),则
(T1) .k ∈ N,在I中存在一个k-周期点,即.x0 ∈ I使得fk(x0)=x0并且当1.i<k时,fi(x0)=.x0.
(T2)存在一个不可数集S0. IPer(f)满足下列条件：
在上面定理中,当d=a时,即b=f(a),c=f2(a),a=f3(a),则上定理的结论(T1)与(T2)都成立.这就是四十年来科学界广泛重视的著名结果：“周期三意味着混沌”.
近半个世纪以来,人们始终力求用科学的方法准确地描述存在于自然界、社会生活、科学实验里确定系统中的内在随机现象和复杂性问题(无序性,乱七八糟).Li-Yorke的混沌定义是精确、严格的数学定义,但是定义太抽象,没有直观地反映确定系统中的内在随机性等特征.实际上,我们不难看出:Li-Yorke的定义存在如下两方面的不足:
(A1)映射是在区间上定义的,适用范围太狭窄;
(A2)定义是高度抽象的数学定义,缺乏直观性,不利于工程应用,也无法解释确定系统中的内在随机现象.
为克服(A1)在混沌研究中带来的困难,文献[16]中将上述Li-Yorke定义推广到度量空间.后来,文献[4]又对其作了如下修正.
定义1.1.2设X是度量空间,连续映射f:X→ X称为是一个混沌映射,如果存在一个不可数集合S0. XPer(f),对于.p,q ∈ S0,p=.q, 恒有
则称满足(.)中两式的点集S0. XPer(f)为Li-Yorke混沌集(混沌集).
区别定义1.1.1与定义1.1.2,我们称满足定义1.1.2的混沌为弱Li-Yorke混沌,即贯穿本书,我们有如下定义.
定义1.1.2. 设X是度量空间,连续自映射f:X→ X称为是弱Li-Yorke混沌的,如果f存在不可数的混沌集.
根据定义1.1.2. 和后面的推论1.3.3可直接得到如下结果.
定理1.1.2设X是度量空间,连续自映射f:X→ X是Li-Yorke混沌的当且仅当它是弱Li-Yorke混沌的并且P(f)=N.
在1.3节中,我们将用例子说明:对于连续自映射而言,Li-Yorke混沌是严格地强于弱Li-Yorke混沌的.
为克服(A2)在应用研究中的不足,1989年,Devaney[2] 对混沌作了如下更直观的定义.
定义1.1.3(Devaney,1989)设X是一个度量空间,f:X→ X是连续映射,且满足
(i) f 对初值是敏感依赖的；
(ii) f 是拓扑传递的；
(iii)f的周期点在X内稠密,则称映射f在Devaney意义下是混沌的(即f是Devaney混沌映射).
注(i)对初值敏感依赖：在物理上称为“蝴蝶效应”.如果用ρ表示度量空间X上的距离(度量)函数,x∈ X,则物理含义在数学上精确为：存在实数δ>0,对于任何实数ε>0,存在y∈ Bρ(x,ε),存在自然数n使得d(fn(x),fn(y))>δ,这时称映射f关于初值x是敏感依赖的；如果映射f以空间X中任何一点x为初值都是“一致”敏感依赖的,即存在实数δ>0,对于.x ∈ X, . ε> 0, 存在点y ∈ Bρ(x,ε),存在自然数n使得d(fn(x),fn(y))>δ,则称f对初值是敏感依赖的,其中Bρ(x,ε)={y ∈ X:ρ(y,x)<ε} 是x点的ε-开球体.
(ii) 拓扑传递性：映射f : X → X称为是拓扑传递的,如果. x0 ∈ X 使得
其中称为点x0的轨道,并且Orbf(x0)表示度量空间X的子集Orbf(x| 0)的闭包.在本书中,有时也把点x0的轨道Orbf(x0)简写为Of +(x0)(例如:在3.5节中).
(iii)周期点的稠密性:空间X中任何点的任意充分小的范围(邻域)内都有f的周期点, 即Per(f)= X.
关于拓扑传递与周期点稠密的直观理解,放到定理1.2.5之后来描述.
自上述Li-Yorke混沌定义与Devaney混沌定义引入以来,学者们一直在探索如下两个问题：
(1)无论是Li-Yorke混沌还是Devaney混沌,其定义中条件都很多,这些条件是相互独立的吗？即能否将定义中的条件加以压缩使定义变得更简单一些呢？
(2)Li-Yorke混沌定义与Devaney混沌定义相互等价吗？即两个定义可以互推吗？
关于这两个问题,在1.3节我们将对它们作专门讨论.
为了将来问题叙述的方便,现在我们作如下一些约定.
设X,Y是两个集合,本书始终用符号f:X→ Y表示X到Y的映射.如果Y=X,即映射f:XX称为是X上的自映射.如果X是一个度量空间(或者拓扑空间),并且f:X→ X连续,则称f是X上的一个连续自映射.